ОСОБЛИВОСТІ РЕАЛІЗАЦІЇ ДРОБНО-ДИФЕРЕНЦІЙНОГО ПІДХОДУ ДЛЯ ОПИСУ ПРОЦЕСУ ЖИВЛЕННЯ ДВОФАЗНОЇ ЗОНИ, ЩО УТВОРЮЄТЬСЯ ПРИ ЗАТВЕРДІННІ МЕТАЛІВ І СПЛАВІВ
DOI:
https://doi.org/10.34185/1991-7848.itmm.2021.01.043Ключові слова:
filtration, mathematical model, fractional derivative, fine differential equation, generalized Darcy's lawАнотація
Двохфазна зона, що утворюється при переході розплаву з рідкого в твердий стан, часто може характеризуватись аномальною кінетикою протікання. Особливості кінетики в цьому випадку виникає у зв’язку з виникненням ефектів просторової нелокальності і, в ряді випадків, ефектів пам'яті, що підкоряються різним ступеневим законам [1-3]. Математичним апаратом, що дозволяє адекватно описувати такі процеси, є теорія інтегро-диференціювання дробового порядку [4-6].
Основна ідея моделювання полягає в заміні реального неоднорідного середовища двофазної зони модельним однорідним шраристим середовищем зі ступеневою пам’яттю та просторовою нелокальностю. При цьому реалізується неповний опис фільтраційного процесу диференціальним рівнянням дробового порядку, а наявність дробових похідних в модифікаціях основних законів і співвідношень свідчить про наявність, так званих, прихованих змінних [7].
Посилання
Gazizov R.K. Fractional-differential approach to modeling filtration processes in complex heterogeneous porous media / R.K. Gazizov, S.Yu. Lukashchuk // Informatics, computer technology and management. - 2017. - No. 4. - S. 104–112.
Anomalous Radionuclide Diffusion in Highly Heterogeneous Geological Formations, ed. By L. A. Bolshov, (in Russian). M.: Nauka, 2010.
Sahimi M. Flow and transport in porous media and fractured rock: from classical methods to modern approaches. Weinheim: Wiley-VCH, 2011. 733 p.
S. Samko, A. Kilbas, O. Marichev, Fractional Integrals and Derivatives. Theory and Applications, (in Russian). Minsk: Nauka I technika, 1987.
Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and applications of fractional differential equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 p.
Учайкин В. В. Метод дробных производных. Ульяновск: изд-во «Артишок», 2008. 512 c. [ V. V. Uchaikin, Fractional derivatives method, (in Russian). Ul'yanovsk: izd-vo “Artishok”, 2008. ]
V. V. Uchaikin, Mechanics. Basics of continuum mechanics, (in Russian). SPb.: izd-vo Lan’, 2017.
V.N. Nikolaevsky, Geomechanics and fluidodynamics, (in Russian). M.: Nedra, 1996.
Ba J., Du Q., Carcione J. M., Zhang H., Muller T. M. Seismic exploration of hydrocarbons in heterogeneous reservoirs. Amsterdam: Elsevier, 2014. 370 p.
Mainardi F. Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity. An introduction to mathematical models. Singapore: Imperial College Press, 2010. 367 p.
Caffarelli L., Vazquez J. L. Nonlinear porous medium flow with fractional potential pressure // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 2011. V. 202. No. 2. P. 537–565.
Raghavan R. Fractional diffusion: performance of fractured wells // Journal Petroleum Science and Engineering. 2012. V. 92–93. P. 167–173.
Abiola O. D., Enamul H. M., Kassem M., Sidqi A. A. A modified memory-based mathematical model describing fluid flow in porous media // Computers and Mathematics with Applications. 2017. V. 73. No. 6. P. 1385–1402.
I. A. Charnyi, Underground hydro-gas dynamics, (in Russian). M.-Izhevsk: RChD, 2006.
